Lerp

Unity로 개발을 했다면 물체의 이동이나 회전을 Lerp()를 사용하여 부드럽게 만들어본 경험이 있을 것이다.

Lerp는 Linear Interpolation의 약자로 선형 보간을 의미한다.
선형 보간은 직선 상의 두 점이 주어졌을 때 그 사이의 값을 선형적으로 추론하는 방법이다.

선형 보간의 유도

다음과 같이 $(2, 2)$와 $(7, 4)$에 두 점이 주어지고 $(5.1, b)$의 $b$값을 알고 싶다고 하자.

이를 위해 먼저 구하려고 하는 점의 $x$축 비율을 알아야 한다.

$x$축 비율: $\cfrac{5.1 - 2}{7 - 2} = \cfrac{3.1}{5} = 0.62$

다음으로 $b$의 위치 비율을 알아내보자.
$b$의 위치 비율은 전체 $y$ 거리에서 $b$까지의 거리를 나눔으로써 알 수 있다.

$b$의 비율: $\cfrac{b - 2}{4 - 2} = \cfrac{b - 2}{2}$

그리고 $b$의 비율은 선형의 특징 때문에 앞서 구한 $x$축의 비율과 일치해야 한다.

$\cfrac{b-2}{2} = 0.62$

$\therefore b = 3.24$

이렇게 $b$의 값이 $3.24$임을 구할 수 있다.

사실 위에서 $b$값을 구한 과정은 선형 보간이 아닌 선형 보간의 역산이다.
하지만 위의 과정에서 선형 보간이 포함된다.

아래의 $b$값을 구하는 과정을 좀 더 일반화시켜보자.

$\cfrac{b - 2}{4 - 2} = 0.62$

여기서 $0.62$라는 비율을 $t$로 치환하고 시작 $y$값을 $u$로 끝 $y$값을 $v$로 치환해보자.

$\cfrac{b - u}{v - u} = t$

위의 식을 $b$에 대해서 정리해보자.

$b = u + (v - u)t$

그리고 이 식을 깔끔하게 정리하면 다음의 선형 보간 공식을 얻는다.

$b = (1-t)\cdot u + t \cdot v$

위에서 정리한 식에서 비율 $t$를 $[0, 1]$로 제한하면 아핀 결합의 형태를 이룬다.
아핀 결합의 정의는 다음과 같다.

$\sum_{i}\lambda_i P_i \quad with \quad \sum_{i}\lambda_i = 1$

아핀 결합으로 만들어지는 결과는 아핀 부분 공간 내부에 존재한다는 특징이 있다.
여기서 아핀 부분 공간은 두 점이 만드는 선분이므로 선형 보간의 결과는 항상 선분 위에 존재한다.

선형 보간의 구현

선형 보간은 매우 간단하게 구현할 수 있다.
앞에서 구한 다음의 식을 코드로 나타내면 된다.

$b = (1-t)\cdot u + t \cdot v$

double Lerp(double begin, double end, double t)
{
    return (1 - t) * begin + t * end;
}

실제 엔진 내부에서는 이를 변형하여 다음과 같이 구현한다.
아래와 같이 구현하게 되면 연산이 줄어든다. 수학적으로는 동일하다.

double Lerp(double begin, double end, double t)
{
    return begin + (end - begin) * t;
}

Unity의 선형 보간

Unity에서는 다음과 같은 다양한 선형 보간 메서드를 제공한다.

Mathf.Lerp(a, b, t);
Color.Lerp(a, b, t);
Color32.Lerp(a, b, t);
Vector2.Lerp(a, b, t);
Vector3.Lerp(a, b, t);
Vector4.Lerp(a, b, t);

실제로 아래는 Mathf.Lerp()에 대한 Unity 공식 문서를 가져온 것이다.
살펴보면 위에서 설명한 내용과 정확히 동일함을 알 수 있다.

마무리

Lerp()는 선형 보간 함수로 두 값 사이의 선형 값을 추론한다.
수학적으로는 아핀 결합의 한 형태다.

Unity에서는 부드러운 위치, 회전, 색상 변경, UI 애니메이션 등에 활용된다.