함수

‘이득우의 게임 수학’을 읽고 내 나름대로의 이해를 토대로 정리한 글이다. 틀린 부분이 있을 수도 있다.

함수

함수는 일반적으로 두 집합의 관계를 나타낸다.
하나의 집합의 모든 원소가 다른 한 집합에 빠짐없이 대응하는 관계를 말한다.

두 집합의 요소가 서로 대응한다고 무조건 함수는 아니고 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.

1. 모든 원소가 대응해야 한다.
2. 한 원소가 대응하는 원소는 하나여야 한다.

함수의 용어

집합 $A$와 집합 $B$가 있고 $A \rightarrow B$ 관계라고 하자.

이때 $A$의 모든 원소 집합을 정의역이라고 한다.

그리고 $B$의 모든 원소 집합을 공역이라고 한다.
공역에서 정의역과 대응하는 원소 집합을 치역이라고 한다.

함수의 종류

함수는 크게 전사 함수와 단사 함수로 나눈다.

전사 함수는 공역의 모든 요소가 정의역에 대응하는 함수를 말한다.
다른 말로 표현하면 공역과 치역이 동일한 함수다.

단사 함수는 공역과 정의역이 일대일로 대응하는 함수를 말한다.

추가적으로 전사 함수의 특징과 단사 함수의 특징을 모두 갖추고 있는 함수를 전단사 함수라고 한다.

합성 함수

앞서 함수를 두 집합의 관계라고 정리했지만 이를 넘어서 여러 집합의 관계로 확장시킬 수도 있다.

앞서 $A \rightarrow B$의 관계에 집합 $C$를 추가해서 다음과 같이 구성한다고 하자.
그리고 $A \rightarrow B \rightarrow C$의 관계에서 $A \rightarrow B$의 대응을 $f(x)$, $B \rightarrow C$의 대응을 $g(x)$라고 하자.

이 때 $A \rightarrow B \rightarrow C$ 관계를 $A \rightarrow C$로 요약할 수 있다.
이를 위해서는 $f(x)$와 $g(x)$의 관계를 생각해야 한다.

$x$의 대응 결과가 $f(x)$고, 이 값이 다시 $g(x)$에 대응되기 때문에 $g(f(x))$로 표현할 수 있다.
그리고 이는 $(g \circ f)(x)$로 표현한다.

항등함수와 역함수

수의 연산 성질 중 항등원과 역원이 있었던 것처럼 함수에도 비슷한 개념이 존재한다.
바로 항등함수와 역함수다.

항등함수는 특정 집합의 대응 결과가 다시 그 집합으로 나오는 함수를 말한다.
항등함수는 $id$로 표시한다.

항등함수는 $f \circ id = id \circ f = f$의 특징을 가진다.

역함수는 특정 집합의 대응 결과가 항등함수가 되는 함수를 말한다.
역함수는 $f^{-1}(x)$와 같이 표현한다.

역함수는 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} $의 특징을 가진다.

모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아니며 전단사 함수만이 역함수를 가진다.

곱집합과 평면

곱집합이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합을 말한다.
두 집합 $A$, $B$가 존재할 때 곱집합은 $A \times B$로 나타낸다.

곱집합의 요소는 각 집합의 원소 $a$, $b$를 묶어 순서쌍 $(a, b)$로 표현한다.

곱집합은 기하학적으로 표현할 때 서로 수직으로 배열하는 특징이 있는데 이를 이용하여 평면을 표현할 수 있다.

마무리

함수는 나중에 가상 세계의 변환을 알아보기 위해 반드시 알아야 한다.

곱집합은 평면을 표현할 수 있는 도구며, 우리는 이 곱집합을 통해 평면의 기반을 마련했다.
벡터를 이용하면 곱집합을 이용해 구성한 평면 위에서 점의 움직임을 구현할 수 있을 것이다.

※ 챕터를 이해하고 암기하고 작성하는 내용이라 틀린 내용이 있을 수 있다.