벡터

‘이득우의 게임 수학’을 읽고 내 나름대로의 이해를 토대로 정리한 글이다. 틀린 부분이 있을 수도 있다.

데카르트 좌표계

수 집합을 직선으로 표현하면 수직선이다. 이 수직선을 수직으로 배치하게 되면 2차원 공간을 표현할 수 있다.

곱집합의 영어 표현이 Cartesian Product인 점과 데카르트 좌표계의 영여 표현이 Cartesian Coodinate System인 것으로 짐작하여 둘은 같은 의미임을 알 수 있다.

데카르트 좌표계의 원소는 수 집합의 원소를 순서쌍으로 표현한다.

$(x, y)$

일반적으로 좌표는 수와 동일하게 점 또는 원점으로부터의 화살표로 표현한다.
즉, 벡터는 크기와 방향을 가진다.

1차원 수직선 공간에서 점을 이동시키기 위해 덧셈을 사용했다.
2차원 평면 공간에서 점을 이동시키기 위해서는 벡터를 위한 새로운 공리의 정의가 필요하다.

스칼라와 벡터

평면의 벡터는 두 실수를 결합하여 만들어진다.
따라서 벡터의 연산은 실수의 연산을 염두에 두고 설계되어야만 한다.

새로운 공리를 덧붙여 평면 집합을 구성하고, 그 집합에서의 덧셈과 곱셈을 새롭게 정의한다.
즉, 평면에서의 표현과 이동을 정의하는 것과 같다.

두 개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합을 벡터 공간이라고 한다.
그리고 벡터 공간을 구성하는 곱집합을 벡터라고 한다.

공리적 집합론적 관점에선 연산이 갖는 성질만을 다룬다.
그래서 곱집합의 원소를 특정 수 집합에 대응하기보다 체 집합의 원소라고 뭉뚱그리며 이를 스칼라라고 한다.

벡터 공간의 연산

벡터 공간은 +와 * 연산을 정의한다.

• 벡터와 벡터의 덧셈(+)

  $\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} = (x_1, \; y_1) + (x_2, \; y_2) = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2)$

• 스칼라와 벡터의 곱셈(*)

  $a \, \cdot \, \vec{v} = a \, \cdot \, (x, \; y) = (ax, \; ay)$

벡터와 벡터의 덧셈은 점을 특정 위치로 이동시키는 연산이다.
예를 들어 $(3, 2)$의 위치의 벡터를 $(2, 3)$만큼의 힘으로 이동시키면 $(5, 5)$의 위치에 점이 위치한다.

스칼라와 벡터의 곱셈은 원점을 지나는 직선 상의 벡터를 생성한다.

벡터의 크기와 정규화

1차원 공간에서 수의 크기는 원점으로부터의 거리를 의미한다.
2차원 공간에서 벡터의 크기도 마찬가지로 원점으로부터의 거리를 의미한다.

이는 벡터와 원점을 연결하여 피타고라스의 정리를 이용해 쉽게 구할 수 있다.

[피타고라스의 정리]
$c^2 = a^2 + b^2$
$∴ c = \sqrt{a^2 + b^2}$

피타고라스의 정리를 이용해 벡터 $\vec{v} = (x, y)$의 크기는 다음과 구할 수 있다.

$\Vert \vec{v} \Vert = \sqrt{x^2 + y^2}$

벡터의 크기는 노름(norm)이라고도 부른다.

노름이 1인 벡터를 단위 벡터라고 한다.
단위 벡터는 방향을 표시할 때 자주하며 크기를 측정하는 기준이 된다.
단위 벡터는 ^ 기호를 씌워 $\hat{v}$라고 표현한다.

일반적으로 단위 벡터를 구하기 위해 벡터를 노름으로 나누는 방법을 사용한다.
벡터 $\vec{v} = (x, y)$의 단위 벡터를 구하는 방법은 다음과 같다.

$ \Vert \vec{v} \Vert = \sqrt{x^2 + y^2} $
$ \hat{v} = \cfrac{\vec{v}}{ \Vert \vec{v} \Vert} = (\cfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \; , \cfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \,)$

위와 같이 벡터를 단위 벡터화하는 작업을 정규화라고 한다.

벡터의 결합과 생성

벡터와 벡터의 덧셈과 스칼라와 벡터의 곱셈은 선형성이 있어 선형 연산이라고도 한다.

선형 연산을 이용해 $n$개의 벡터를 결합하여 새로운 벡터 $\vec{v’}$를 생성하는 것을 선형 결합이라고 한다.

$a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + \cdots + a_{n - 1}\vec{v_{n-1}} + a_n\vec{v_n}$

영벡터 $\vec{0}$를 생성하는 선형 결합식을 보자.

$a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + \cdots + a_{n - 1}\vec{v_{n-1}} + a_n\vec{v_n} = \vec{0}$

이때 $a_1 ,\, a_2 ,\, \cdots ,\, a_{n - 1} ,\, a_n$이 모두 0일 때만 $\vec{0}$을 생성할 수 있다면 선형 결합에 사용된 벡터들은 선형 독립 관계를 가진다.
반대로 0이 아닌 다른 수여도 $\vec{0}$을 생성할 수 있다면 선형 결합에 사용된 벡터들은 선형 종속 관계를 가진다.

벡터 간의 선형적 관계는 매우 중요하다.
선형 독립 관계에 있는 벡터를 선형 결합하면 벡터 공간의 모든 벡터를 생성할 수 있다.

선형 독립 관계인 벡터 $(1, 0)$과 벡터 $(0, 1)$의 선형 결합을 생각해보자.
$a_1$과 $a_2$에 따라 모든 순서쌍을 구성할 수 있음을 알 수 있다.

$a_1(1, 0) + a_2(0, 1) = (a_1, a_2)$

선형 종속 관계에 있는 벡터의 선형 결합은 단순히 스칼라 곱을 한 결과에 불가하다.
선형 종속 관계인 벡터 $(1, 2)$와 벡터 $(2, 4)$의 선형 결합을 생각해보자.

$a_1(1, 2) + a_2(2, 4) = (a_1 + 2a_2) \cdot (1, 2)$

따라서 단순히 원점과 $(1, 2)$를 지나는 직선 위의 점들만 생성할 수 있다.

그렇다면 선형 독립 관계인 3개의 벡터를 이용하여 벡터 공간의 벡터를 생성할 수 있을까?
새로운 벡터 $(x, y)$를 추가하여 선형 결합을 해보도록 하겠다.

$a \cdot (1, 0) + b \cdot(0, 1) + c \cdot (x, y) = (0, 0)$

앞서, 벡터 $(1, 0)$과 $(0, 1)$이 선형 독립 관계임을 확인했다.
따라서 이 둘의 선형 결합으로 $-c \cdot (x, y)$를 생성할 수 있음을 이해해야 한다.

즉, 위의 식은 아래와 같이 바뀌며, 평면 위의 벡터를 생성하기 위해서는 두 개의 벡터만 사용해야 함을 알 수 있다.

$-c \cdot (x, y) + c \cdot (x, y) = (0, 0)$

기저와 기저 벡터

선형 독립 관계에 있는 두 벡터로 구성된 집합을 기저라고 한다.
그리고 기저의 원소를 기저 벡터라고 한다.

기저 벡터를 다른 값으로 변경하면 기저 벡터로 세워진 벡터 공간의 모든 원소가 변경된다.
이는 선형 변환의 기본 원리가 되며 이를 이해해야만 한다.

지금까지 생성했던 벡터 공간은 $\mathbb{R^2}$라고 하며, 실벡터 공간이라고 한다.

$(1, 0)$과 $(0, 1)$과 같이 한 축만 사용하는 기저 벡터를 표준 기저 벡터라고 한다.
그리고 이 표준 기저 벡터를 토대로 세워진 집합을 표준 기저라고 한다.

마무리

지금까지 2차원 공간에서의 점의 이동과 표현을 위해 벡터를 공부했다.

벡터는 체의 구조를 가지는 $\mathbb{R}$의 위에서 덧붙여진 공리를 가진다.
따라서 엄청 크게 연산의 성질이나 구조가 달라지지 않는다.

선형 독립 관계인 두 벡터의 선형 결합으로 벡터 공간 내의 모든 벡터를 생성할 수 있다.
또, 기저 벡터가 변경되면 쌓아올린 벡터 공간도 변경된다. 이것이 선형 변환의 원리다.

※ 챕터를 이해하고 암기하고 작성하는 내용이라 틀린 내용이 있을 수 있다.